L'Outil-Dessin en Topologie Métrique ou Autour des Boules ouvertes et des Ouverts






Ce n'est pas un cours bien structuré! C'est plutôt, une ébauche d'introduction à un cours, un billet présentant certaines notions topologiques de base dans un espace métrique: boule ouverte, boule fermée, partie ouverte , partie fermée, distance, des exemples, ...




Des passages en vrac du billet:

Rappelons que la notion de boule ouverte est métrique.
Souvent, lors des démonstrations, on est amené à travailler dans un plan euclidien, s’inspirant de figures géométriques usuelles pour établir certains résultats. Toutefois, il faut toujours se rappeler qu’un espace métrique n’est pas muni d’une structure algébrique. C’est tout juste un ensemble de points muni d’une distance.
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Bien-sûr, nous avons l’exemple le plus simple de IR muni de la distance habituelle exprimée à l’aide de la valeur absolue de la différence entre deux nombres, lequel peut être représenté par la droite géométrique. Mais le fait de travailler dans une seule dimension ne permettra pas de ‘visualiser’ un grand nombre de résultats. (D’ailleurs, si le monde était conçu avec une seule dimension, il n’y aurait presque pas de géométrie !)
Par suite, on n’hésitera pas à ‘dessiner’ sur le plan euclidien pour établir des résultats et propriétés, mais sans faire intervenir que les trois axiomes d’un espace métrique et leurs conséquences.
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Dénombrement des applications croissantes




 Dénombrement des applications croissantes et des applications strictement croissantes d’un ensemble fini vers un ensemble fini; les deux ensembles étant totalement ordonnés

Soit E, un ensemble fini de cardinal n et F, un ensemble fini de cardinal m tel que n inférieur ou égal à m, E et F étant totalement ordonnés.

Le cardinal de l’ensemble des applications strictement croissantes de E vers F est le nombre parties de n éléments choisis parmi m éléments.

Soit E, un ensemble fini de cardinal n et F, un ensemble fini de cardinal m, E et F étant totalement ordonnés.
Le cardinal de l’ensemble des applications croissantes de E vers F est le nombre parties de n éléments choisis parmi m+n-1 éléments.





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