Un petit exercice sur les dimensions vectorielles
Soient f et g, deux endomorphismes sur un IK-espace vectoriel de dimension finie tels que : E=Im f + Im g et E=Ker f + Ker g Montrer que ces deux sommes sont directes. Il suffit de raisonner en termes de dimensions ! On a : (E1) dim Im f +dim Im g = dim E +dim ( Im f ^ Im g ) (E2) dim Ker f + dim Ker g = dim E +dim ( Ker f ^ Ker g ) (E3) dim Im f + dim Ker f = dim E (E4) dim Im g + dim Ker g = dim E En combinant (E1)+(E2)-(E3)-(E4), on obtient : dim ( Im f ^ Im g ) + dim ( Ker f ^ Ker g )=0 et par suite : dim ( Im f ^ Im g ) =0 et dim ( Ker f ^ Ker g )=0 (le symbole ^ désigne celui de l'intersection entre les ensembles) Voilà mon ami! Vous êtes servi...