.:Horizon Maths Plus:.

  Quand l'Inattendu Devient Pédagogique : Analyse d'une Situation Didactique Dans cet article, nous abordons le problème des situations pédagogiques imprévues à travers un exemple, et comment nous pourrions les gérer en tant qu'enseignant de mathématiques. Dans cet article, nous simulons un échange entre didacticiens et enseignants à propos d'une situation où un élève propose une réponse inattendue en mathématiques. L'échange se concentre sur les stratégies à adopter pour gérer une telle surprise en classe, afin de clarifier les concepts algébriques et de stimuler la pensée critique. L’exemple de situation choisi, bien qu’il soit simple, mais pas impossible à la rencontrer en classe, a été, durant les étapes de son analyse, l’occasion d’insister sur :  l'importance de relier les exercices aux concepts récemment abordés en classe, la nécessité pour l'enseignant d'adopter des méthodes pédagogiques variées pour remédier aux incompréhensions des élèves. l’im...

Des séries d'exercices classiques que l'on ne peut éviter, avec des éléments de réponse et des prolongements et généralisations intéressantes à connaître (voir supports écrits) et généreusement commentés en vidéo... Séries numériques: Série1 (Support écrit)           Vidéos:    Exercice 01   Exercice 02   Exercices 03 et 04   Exercice 05   Exercices 06 et 07                             V1-Compilation Séries numériques: Série2 (Support écrit)           Vidéos:    Exercices 08 et 09   Exercices 10 et 11   Exercices 12 et 13                           V2-Compilation Séries numériques: Série3 (Support écrit) Séries numériques: Série Spéciale (Support écrit; en cours d'édition!) Une mise en garde: ...

En réponse à l'un des visiteurs du blog, qui parait être un  élève marocain de la 2ème année Sciences (Maths, Physique, SVT, ...) Cliquer sur la feuille (image) pour afficher sous format pdf. En cas de problème, réessayer ici .

Souvent, pour atteindre l'un de mes blogs, les visiteurs utilisent un ensemble de mots clés dont Adhérence et Intérieur de Q, d'un intervalle de IR  pour la topologie usuelle de IR entre autres. C'est la raison pour laquelle je compte venir en aide à ces visiteurs en leur proposant de temps en temps ces quelques fragments de mathématiques classiques: L’Adhérence et l'Intérieur de Q et du sous-ensemble des nombres irrationnels dans IR : autres...

Le but de cet exercice est de caractériser les séries statistiques réelles dont l’ écart moyen et l’ écart-type sont égaux . Un résultat très intéresssant: L'écart moyen est toujours inférieur à l'écart-type. Le seul cas (non trivial) où ces deux écarts sont égaux est lorsque la série statistique est composée de deux "mesures" de même fréquence. On a essayé de répondre le plus simplement possible aux questions posées, sans vouloir utiliser l'inégalité de Cauchy-Shwarz. Voir l'énoncé et la solution de l'exercice sous format PDF. .

Un exemple d'une égalité à démontrer par récurrence. Chaque fois que l’égalité est précisée dans l'énoncé, on pourra raisonner par récurrence. Comme c'est le cas ici! Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe Parfois, même si l’égalité n’est pas donnée, on commencera par calculer les premiers termes pour essayer de voir quelle serait l’expression du terme du deuxième membre en fonction de n, dans le cas général. Et c’est le raisonnement par récurrence qui permettra de ‘‘valider’’ cette expression formulée !   Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe    Attention, ce même exercice peut être résolu différemment! Par décomposition en éléments simples... Question de temps!

Un exemple de raisonnement par l'absurde:  Cliquer sur l'image pour afficher le texte en Arabe       . . .

Si A est une partie fermée de IR pour laquelle il existe un certain p dans ]0,1[ vérifiant pour tout couple (x,y) d'éléments de A, on a px+(1-p)y est toujours un élément de A alors, A est une partie convexe de IR, donc un intervalle fermé de IR. Le résultat reste vrai pour tout evn de Banach (mais sans être toutefois un intervalle). Pour télécharger un doc pdf, cliquer ici .

Dans certains passages des programmes des mathématiques, selon le niveau et la filière considérés, il est souvent question de mobiliser un champ conceptuel plus large pour établir une classe de résultats dans le cas général. Cependant, il est possible de restreindre le champ dans des cas particuliers, en ne faisant intervenir que des notions plus élémentaires et des résultats aisément faciles à appliquer. C’est le cas de l’équivalence des normes de IRn qui nécessite des notions et des résultats de Topologie Générale, à savoir :  Ensembles compacts d’un espace métrique,  Disque-unité d’un espace vectoriel normé de dimension finie,  Compacité du disque-unité,  Propriétés des fonctions numériques définies sur des parties compactes. Dans ce qui suit, nous présentons une démonstration de ce théorème, adaptée au cas particulier de IR2, en utilisant des résultats beaucoup plus élémentaires que ceux que nous venons de citer. Démonstration proposée :

Tout groupe dont tous les éléments sont d'ordre 2, est abélien. En effet, soient a et b deux éléments de ce groupe. On a: a.b=(a.b)^-1=b^-1.a^-1=b.a On rappelle qu'un élément x est dit d'ordre 2, s'il vérifie x^2=e (e étant l'élément neutre du groupe). Il s'ensuit que x^-1=x et donc x est son propre inverse. Des exemples de tels groupes: ({-1,1},x), (Z/2Z,+) et ((Z/2Z)^n,+) pour tout entier naturel n non nul. On montre que tout groupe fini dont les éléments sont tous d'ordre 2 est isomorphe à ((Z/2Z)^n,+) pour un certain entier naturel n non nul. Pouvez-vous proposer un exemple d'un tel groupe, mais infini ? Regardez toujours du côté de Z/2Z ! Note: Cette ébauche est mise en ligne juste pour faire marcher les moteurs de recherche et pour montrer que certains textes mathématiques sont "rédigibles" par le plus pauvre des éditeurs!