Billet autour de la convergence/divergence de la suite (sin⁡(ω.n))_(n∈IN)

Souvent on propose à nos élèves et étudiants de calculer lim sin(n) comme exemple de suite bornée divergente vraiment très singulière. Et le plus souvent, on manque de temps pour leur donner une preuve en se suffisant de leur dire que c’est à cause du caractère périodique de  la fonction sinus bien que la suite de terme général sin(n) n’est nullement périodique !

L’objet de ce billet est de proposer d’abord à l’apprenant, selon son niveau, un ensemble de démonstrations de la divergence de la suite bornée de terme général sin(n), puis de lui donner l’étude détaillée de la suite, dans le cas général, quelque soit la pulsation  choisie. Il aura donc l’occasion de véhiculer plusieurs notions relevant de divers cadres :  trigonométrique, algébrique complexe, topologique… En procédant de cette manière, on aura le mérite d’apporter de la lumière à un problème n’ayant pas hérité la propriété de périodicité d’un objet mathématique pourtant périodique.

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