Rubrique Question/Réponse

Souvent, je reçois des questions par téléphone, posée par les nouveaux étudiants universitaires et élèves des cpge qui me connaissent de près ou de loin!
Comme il est parfois impossible de leur répondre par téléphone sans support visuel, je leur envoie une indication de réponse par email.
En voici quelques exemples:

30/09/2012:


19/09/2012:



Un petit exercice sur les dimensions vectorielles

Soient f et g, deux endomorphismes sur un IK-espace vectoriel de dimension finie tels que :


E=Im f + Im g et E=Ker f + Ker g

Montrer que ces deux sommes sont directes.



Il suffit de raisonner en termes de dimensions ! On a :
(E1) dim Im f +dim Im g = dim E +dim ( Im f ^ Im g )

(E2) dim Ker f + dim Ker g = dim E +dim ( Ker f ^ Ker g )

(E3) dim Im f + dim Ker f = dim E

(E4) dim Im g + dim Ker g = dim E
En combinant (E1)+(E2)-(E3)-(E4), on obtient : dim ( Im f ^ Im g ) + dim ( Ker f ^ Ker g )=0
et par suite :


dim ( Im f ^ Im g ) =0 et dim ( Ker f ^ Ker g )=0


(le symbole ^ désigne celui de l'intersection entre les ensembles)

Voilà mon ami! Vous êtes servi...