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Un petit exercice sur les dimensions vectorielles

Soient f et g, deux endomorphismes sur un IK-espace vectoriel de dimension finie tels que :


E=Im f + Im g et E=Ker f + Ker g
Montrer que ces deux sommes sont directes.



Il suffit de raisonner en termes de dimensions ! On a :
(E1) dim Im f +dim Im g = dim E +dim ( Im f ^ Im g )
(E2) dim Ker f + dim Ker g = dim E +dim ( Ker f ^ Ker g )
(E3) dim Im f + dim Ker f = dim E
(E4) dim Im g + dim Ker g = dim E En combinant (E1)+(E2)-(E3)-(E4), on obtient : dim ( Im f ^ Im g ) + dim ( Ker f ^ Ker g )=0
et par suite :


dim ( Im f ^ Im g ) =0 et dim ( Ker f ^ Ker g )=0

(le symbole ^ désigne celui de l'intersection entre les ensembles)

Voilà mon ami! Vous êtes servi...