.:Horizon Maths Plus:.

Il apparaît que l'intelligence artificielle n'atteint pas encore le niveau nécessaire pour répondre correctement à un exercice de mathématiques de niveau secondaire. Examinez la réponse de ChatGPT et prêtez une attention particulière à sa conclusion. Résoudre le système: x>=0 y>=0 x+y<=1 x+y=(x-y)^2 Réponse de ChatGPT Solution par méthode élémentaire Deux solutions astucieuses Conclusion et commentaires Télécharger l'article sous format PDF ........

Cadre théorique général En complément: étude de la convergence des suites homographiques Importance didactique des suites homographiques au secondaire Elaboration pertinente des exercices d'étude de suites homographiques Quelques conseils pour les enseignants Niveau Bac+ou-0.5 (paragraphe didactique en cours de finalisation) Cliquer ICI  ou sur l'image pour télécharger le document sous PDF Insérer votre email pour être informé des nouvelles publications du blog Service fourni par FeedBurner

Application au problème des intérêts compensées.  Niveau Bac+ou-0,5 Insérer votre email pour être informé des nouvelles publications du blog Service fourni par FeedBurner

Par cet exercice ainsi que deux variantes, on propose une méthode moins artificielle pour montrer que l'ensemble des nombres rationnels ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure. Pour rappel: On dit qu'un ensemble E totalement ordonné vérifie la propriété de la borne supérieure, si et seulement si, toute partie non vide et majorée de E admet une borne supérieure dans E. Télécharger l'énoncé et la solution de l'exercice avec deux variantes Il est recommandé de télécharger la version récente du document! Publication très prochaine de l'étude didactique de cette méthode et comparaison avec la méthode  "classique " Insérer votre email pour être informé des nouvelles publications du blog Service fourni par FeedBurner

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Des séries d'exercices classiques que l'on ne peut éviter, avec des éléments de réponse et des prolongements et généralisations intéressantes à connaître (voir supports écrits) et généreusement commentés en vidéo... Séries numériques: Série1 (Support écrit)           Vidéos:    Exercice 01   Exercice 02   Exercices 03 et 04   Exercice 05   Exercices 06 et 07                             V1-Compilation Séries numériques: Série2 (Support écrit)           Vidéos:    Exercices 08 et 09   Exercices 10 et 11   Exercices 12 et 13                           V2-Compilation Séries numériques: Série3 (Support écrit) Séries numériques: Série Spéciale (Support écrit; en cours d'édition!) Une mise en garde: ...

  Dénombrement des applications croissantes et des applications strictement croissantes d’un ensemble fini vers un ensemble fini; les deux ensembles étant totalement ordonnés Soit E, un ensemble fini de cardinal n et F, un ensemble fini de cardinal m tel que n inférieur ou égal à m, E et F étant totalement ordonnés. Le cardinal de l’ensemble des applications strictement croissantes de E vers F est le nombre parties de n éléments choisis parmi m éléments. Soit E, un ensemble fini de cardinal n et F, un ensemble fini de cardinal m,  E et F étant totalement ordonnés. Le cardinal de l’ensemble des applications croissantes de E vers F est le nombre parties de n éléments choisis parmi m+n-1 éléments. Afficher et télécharger les  démonstration s  (document sous format PDF) ---------------           Laissez-nous un commentaire Pourquoi ne pas lire également? Une démonstration simpl...

Développement limité polynômial et asymptotique d'une fonction numérique d'une variable réelle en un point  : Notes de cours + Exercices + Eléments de réponse.  Document Adobe Acrobat; 37   Afficher le document Très bientôt, une vidéo sera mise en ligne sur YouTube; commentaires autour des points essentiels et conseils ...

Afficher ou télécharger le document écrit sous format PDF              Pourquoi ne pas lire également? Une démonstration simplifiée de l'équivalence des normes sur IR2 Une équation pas méchante avec des radicaux Un petit exemple de l'application de la dichotomie à la topologie Gros festin pour une araignée Points géométriques à colorier Insérer votre email pour être informé des nouvelles publications du blog Service fourni par FeedBurner

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f est une fonction numérique dérivable sur un intervalle ouvert I . On suppose qu'il existe un élément c de I où f admet une dérivée seconde non nulle. Montrer qu'on peut trouver dans I deux réels a  et b  distincts tels que f(b)-f(a)=(b-a).f ' (c) Télécharger une solution

Soient f et g, deux endomorphismes sur un IK-espace vectoriel de dimension finie tels que : E=Im f + Im g et E=Ker f + Ker g Montrer que ces deux sommes sont directes. Il suffit de raisonner en termes de dimensions ! On a : (E1) dim Im f +dim Im g = dim E +dim ( Im f ^ Im g ) (E2) dim Ker f + dim Ker g = dim E +dim ( Ker f ^ Ker g ) (E3) dim Im f + dim Ker f = dim E (E4) dim Im g + dim Ker g = dim E En combinant (E1)+(E2)-(E3)-(E4), on obtient : dim ( Im f ^ Im g ) + dim ( Ker f ^ Ker g )=0 et par suite : dim ( Im f ^ Im g ) =0 et dim ( Ker f ^ Ker g )=0 (le symbole ^ désigne celui de l'intersection entre les ensembles) Voilà mon ami! Vous êtes servi...

Pouvez-vous montrer que la suite définie par : où N est un entier naturel non nul, est bornée et donc ultimement périodique? Dans le cas où la suite n'est pas stationnaire, vérifier que la période est indépendante de N et déterminer les valeurs ultimes de la suite... (On adoptera la représentation décimale pour toutes les valeurs de la suite)

Souvent, pour atteindre l'un de mes blogs, les visiteurs utilisent un ensemble de mots clés dont Adhérence et Intérieur de Q, d'un intervalle de IR  pour la topologie usuelle de IR entre autres. C'est la raison pour laquelle je compte venir en aide à ces visiteurs en leur proposant de temps en temps ces quelques fragments de mathématiques classiques: L’Adhérence et l'Intérieur de Q et du sous-ensemble des nombres irrationnels dans IR : autres...

Le but de cet exercice est de caractériser les séries statistiques réelles dont l’ écart moyen et l’ écart-type sont égaux . Un résultat très intéresssant: L'écart moyen est toujours inférieur à l'écart-type. Le seul cas (non trivial) où ces deux écarts sont égaux est lorsque la série statistique est composée de deux "mesures" de même fréquence. On a essayé de répondre le plus simplement possible aux questions posées, sans vouloir utiliser l'inégalité de Cauchy-Shwarz. Voir l'énoncé et la solution de l'exercice sous format PDF. .

Parfois, il serait plus facile de montrer que la proposition contraposée est vraie, à condition de bien formuler les négations des propositions, surtout si elles sont quantifiées (universel et existentiel) Voici un exemple :  Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe    Mais, la résolution de  l'exercice est très difficile à mener par des élèves de lycée, les nouveaux apprenti-mathématiciens! Pourtant, on le trouve dans le manuel officiel de SM1 du programme marocain! L'énoncé proposé dans ce même manuel est tout autre. Il comporte une erreur! Comme d'ailleurs, un grand nombre d'exercices qui s'y trouvent!! C'est désolant... Corrigé:

Un exemple d'une égalité à démontrer par récurrence. Chaque fois que l’égalité est précisée dans l'énoncé, on pourra raisonner par récurrence. Comme c'est le cas ici! Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe Parfois, même si l’égalité n’est pas donnée, on commencera par calculer les premiers termes pour essayer de voir quelle serait l’expression du terme du deuxième membre en fonction de n, dans le cas général. Et c’est le raisonnement par récurrence qui permettra de ‘‘valider’’ cette expression formulée !   Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe    Attention, ce même exercice peut être résolu différemment! Par décomposition en éléments simples... Question de temps!

  Cliquer sur les images pour afficher le texte en Arabe 

Un exemple de raisonnement par l'absurde:  Cliquer sur l'image pour afficher le texte en Arabe       . . .

Un exemple d'inégalité à démontrer par récurrence. L'énoncé et la réponse sont en image, en français et en arabe. Pour les avertis, on pourra utiliser le binôme de Newton pour établir la même inégalité, sinon étudier le signe d'une fonction numérique d'une variable réelle en partant de la différence entre les deux membres de l'inégalité (étude des variations) NB: Cette inégalité porte le nom de Bernoulli.