L'Outil-Dessin en Topologie Métrique ou Autour des Boules ouvertes et des Ouverts

Par Farid Mita -





Ce n'est pas un cours bien structuré! C'est plutôt, une ébauche d'introduction à un cours, un billet présentant certaines notions topologiques de base dans un espace métrique: boule ouverte, boule fermée, partie ouverte , partie fermée, distance, des exemples, ...




Des passages en vrac du billet:

Rappelons que la notion de boule ouverte est métrique.
Souvent, lors des démonstrations, on est amené à travailler dans un plan euclidien, s’inspirant de figures géométriques usuelles pour établir certains résultats. Toutefois, il faut toujours se rappeler qu’un espace métrique n’est pas muni d’une structure algébrique. C’est tout juste un ensemble de points muni d’une distance.
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Bien-sûr, nous avons l’exemple le plus simple de IR muni de la distance habituelle exprimée à l’aide de la valeur absolue de la différence entre deux nombres, lequel peut être représenté par la droite géométrique. Mais le fait de travailler dans une seule dimension ne permettra pas de ‘visualiser’ un grand nombre de résultats. (D’ailleurs, si le monde était conçu avec une seule dimension, il n’y aurait presque pas de géométrie !)
Par suite, on n’hésitera pas à ‘dessiner’ sur le plan euclidien pour établir des résultats et propriétés, mais sans ne faire intervenir que les trois axiomes d’un espace métrique et leurs conséquences.
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Dans le cas de IR muni de la distance usuelle, une boule ouverte (respectivement fermée) est justement un intervalle ouvert (respectivement fermé) et borné de IR, la frontière une paire de points. Par suite, la notion de boule se veut une généralisation de la notion d’intervalle.
Dans le cas de IR2 muni de la distance euclidienne, une boule est un vrai disque, la frontière est un cercle. C’est pour cela que les boules sont représentées par des ‘ronds’ bien ‘ronds’. Cependant, lorsqu’il s’agit d’une autre distance, bien particulière, une boule aura la forme d’un vrai carré qu’il faut représenter comme tel et non par un ‘rond’ pour éviter de commettre des erreurs.
Dans le cas de IR3 muni de la distance euclidienne, une boule est une vraie sphère pleine, la frontière est une sphère. C’est pour cela qu’on parle de boule. Là encore, pour une autre distance bien particulière, une boule aura la forme d’un cube, et il faut la représenter comme tel, et non comme une boule bien ‘ronde’…
Dans le cas où l’espace E est muni d’une structure vectorielle en plus d’une distance qui ‘respecte’ la convexité (comme c’est le cas de IRn muni d’une distance faisant intervenir la valeur absolue dans sa définition, par exemple l’une des normes usuelles) une boule sera toujours convexe. Par suite, une boule sera représentée par un rond bien ‘rond’ et convexe. Mais, sans pouvoir utiliser cette propriété de convexité pour établir des résultats, si cette dernière n’était pas justifiée !
Dans le cas général, les boules ouvertes et fermées se représentent par la même figure. Inutile de chercher un code pour dire si la frontière de la boule, fait partie de la boule ou non !
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Cet exemple montre entre autres, qu’une boule
. ne peut pas être toujours ‘ pleine’, comme c’est le cas du dessin qu’on vient de faire,
. peut être à la fois ouverte et fermée,
. peut avoir une frontière vide, parfois plus ‘grosse’ qu’une simple ligne,
. peut admettre plusieurs centres.

Cet exemple qui est d’ailleurs très singulier, nous met en garde lorsqu’on raisonne à partir d’une figure tracée sur du papier ; il ne faut utiliser que les résultats établis dans le cadre métrique ! Une figure peut parfois induire en erreur, non pas seulement à cause de notre perception, mais à cause d’éventuels autres résultats ‘intrus’ non justifiés…
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