ENSA, Maroc (nouveau système, septembre 2014)

  • Programme des Mathématiques dispensées au Cycle Préparatoire intégré:  

Semestres
Modules
Semestre 1
Algèbre 1

Analyse 1

Semestre 2
Algèbre 2

Analyse 2

Semestre 3
Algèbre 3

Analyse 3

Semestre 4
Analyse 4


La masse horaire de chaque module est de 70 heures réparties comme suit :
Cours : 32 heures, TD : 32 heures et CC : 6 heures.


ALGEBRE 1:

1. Vocabulaire de la théorie des ensembles et éléments logiques :
· Implication, condition nécessaire, condition suffisante
· Négation d’un énoncé, raisonnement par contraposition, raisonnement par absurde
· Raisonnement par récurrence (faible et forte)
· Opérations sur les parties d’un ensemble
· Relation binaire, relation d’équivalence, relation d’ordre
· Notions de majorant et de minorant, de plus grand élément et de plus petit élément
· Application (ou fonction) d’un ensemble E dans un ensemble F (non vides). Restriction et prolongement
· Indicatrice d’une partie A d’un ensemble E
· Image directe, image réciproque
· Composition des applications
· Injection, surjection bijection. Application réciproque d’une bijection.
2. Nombres Complexes : calcul algébrique et applications
· Opérations sur les nombres complexes
· Résolution des équations du second degré
· Racines n-ièmes de l’unité
· Exponentielle complexe, l’étude de ses applications à la trigonométrie. Coordonnées polaires.
3. Vocabulaires relatifs aux structures algébriques :
· Lois de composition interne. Associativité, commutativité élément neutre, inversibilité, distributivité. Partie stable
· Groupes, sous groupes. : Anneaux, anneaux intègre, corps
· Calcul dans l’anneau des matrices et des polynômes.
4. Espaces vectoriels et Applications linéaires
· Structure d’un K-espace vectoriel (Le corps de base c’est le corps des nombres réels ou des nombres complexes)
· Sous-espace vectoriel,
· Famille libres, liées, génératrice, base, coordonnées, sous-espace vectoriel engendré par une partie.
· Somme et somme directe d’un nombre fini des sous-espaces vectoriels. Sous-espaces vectoriels supplémentaires
· Espace vectoriel de dimension finie
· Théorèmes : de la base incomplète ; de la base extraite.
· Opérations sur les applications linéaires : structure espace vectoriel et
· identité homothétie, endomorphisme, isomorphisme,
· Image et image réciproque d’un endomorphisme par une application linéaire
· Image et noyau d’une application linéaire, injectivité et surjectivité
· Rang d’une application linéaire
· Théorème de rang
· Formes linéaires et Hyperplan
· Définitions géométriques et caractérisation d’un projecteur et d’une symétrie.
· Déterminant de Vandermonde
5. Polynômes et fractions. (à détailler !)


ANALYSE 1 :

1. La droite réelle
Droite achevée. Intervalles, majorant minorant. Bornes supérieure et inferieures, densité de Q.
2. Suites numériques
Définition et priorité. Limite et critères de convergence. Sous suite, théorème de Bolzano-Wieirstrass.
3. Fonction d’une variable réelle
Limite, continuité, dérivabilité, représentation graphique, Théorèmes de Rolle et des accroissements finis,
formules de Taylor et de Mc-Laurin, Fonction usuelles.
4. Développements limités
Définition propriétés, opérations sur les DL, calcul des limites, développement asymptotique et branches infinies, applications.
5. Calcul Intégral
-Fonctions es escalier : Définitions et propriétés, intégrale de Riemann et primitive, calcul intégral : intégration par partie, changement de variable et intégrales des fractions rationnelles.
6. Equations différentielles
-Equations différentielles scalaires du premier ordre, équations différentielles scalaires de second ordre à coefficients constants.


ALGEBRE 2:

1. Matrices
2. Déterminants
3. Polynômes d’endomorphismes
4. Eléments propres
5. Diagonalisation
6. Trigonalisation
7. Systèmes différentiels


ANALYSE 2 :

1. Intégrales sur un intervalle quelconque
2. Intégrales dépendant d’un paramètre
3. Espaces métriques et Espaces vectoriels normés
4. Topologie d’un espace vectoriel normé
5. Continuité des applications linéaires et normes subordonnées



ALGEBRE 3:

1. Formes bilinéaires
Formes bilinéaires, Matrice d’une forme bilinéaire, Forme quadratique, matrice d’une forme quadratique et notion de rang, Bases orthogonale par rapport à une forme quadratique, Forme quadratique réelle,
Signature d’une forme quadratique
2. Espaces euclidiens
Produit scalaire, Espace préhilbertien, Orthogonalité, Espaces euclidiens, Processus d’orthogonalisation, orthogonal d’un espace vectoriel, Projecteurs orthogonaux et symétrie
Distance à un sous espace vectoriel
3. Adjoint d’un endomorphisme
Endomorphisme symétrique, Théorème spectral, Endomorphisme orthogonal, Matrice symétriques
définies positives, Racine carré d’une matrice
4. Polynômes Orthogonaux
Polynômes de Legendre, Polynômes de Tchebychev, Polynômes d’Hilbert


ANALYSE 3 :

1. Dérivation et Intégration des fonctions vectorielles à variable réelle
2. Calcul différentiel
3. Formes différentielles, intégrales curvilignes, intégrales doubles.
4. Séries numériques
5. Suites et Séries de Fonctions



ANALYSE 4 :

1. Séries Entières
2. Séries de Fourier
3. Transformée de Fourier, Transformée de Laplace
4. Fonctions holomorphes
5. Fonctions Zeta de Riemann et fonction Gamma d’Euler complexes
6. Equations différentielles linéaires et non linéaires.

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