ENSA, Maroc (nouveau système, septembre 2014)
- Programme des Mathématiques dispensées au Cycle Préparatoire intégré:
Semestres
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Modules
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Semestre 1
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Algèbre 1
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Analyse 1
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Semestre 2
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Algèbre 2
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Analyse 2
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Semestre 3
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Algèbre 3
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Analyse 3
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Semestre 4
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Analyse 4
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La masse horaire de chaque module est de 70 heures réparties
comme suit :
Cours : 32 heures,
TD : 32 heures et CC : 6 heures.
ALGEBRE 1:
1.
Vocabulaire de la théorie des ensembles et éléments logiques :
· Implication,
condition nécessaire, condition suffisante
· Négation
d’un énoncé, raisonnement par contraposition, raisonnement par absurde
· Raisonnement
par récurrence (faible et forte)
· Opérations
sur les parties d’un ensemble
· Relation
binaire, relation d’équivalence, relation d’ordre
· Notions
de majorant et de minorant, de plus grand élément et de plus petit élément
· Application
(ou fonction) d’un ensemble E dans un ensemble F (non vides). Restriction et prolongement
· Indicatrice
d’une partie A d’un ensemble E
· Image
directe, image réciproque
· Composition
des applications
· Injection,
surjection bijection. Application réciproque d’une bijection.
2.
Nombres Complexes : calcul algébrique et applications
· Opérations
sur les nombres complexes
· Résolution
des équations du second degré
· Racines
n-ièmes de l’unité
· Exponentielle
complexe, l’étude de ses applications à la trigonométrie. Coordonnées polaires.
3.
Vocabulaires relatifs aux structures algébriques :
· Lois
de composition interne. Associativité, commutativité élément neutre,
inversibilité, distributivité. Partie stable
· Groupes,
sous groupes. : Anneaux, anneaux intègre, corps
· Calcul dans l’anneau des matrices et des polynômes.
4.
Espaces vectoriels et Applications linéaires
· Structure d’un K-espace vectoriel (Le corps de base c’est le corps des
nombres réels ou des nombres complexes)
· Sous-espace
vectoriel,
· Famille
libres, liées, génératrice, base, coordonnées, sous-espace vectoriel engendré
par une partie.
· Somme
et somme directe d’un nombre fini des sous-espaces vectoriels. Sous-espaces
vectoriels supplémentaires
· Espace
vectoriel de dimension finie
· Théorèmes
: de la base incomplète ; de la base extraite.
· Opérations
sur les applications linéaires : structure espace vectoriel et
· identité
homothétie, endomorphisme, isomorphisme,
· Image
et image réciproque d’un endomorphisme par une application linéaire
· Image
et noyau d’une application linéaire, injectivité et surjectivité
· Rang
d’une application linéaire
· Théorème
de rang
· Formes
linéaires et Hyperplan
· Définitions
géométriques et caractérisation d’un projecteur et d’une symétrie.
· Déterminant
de Vandermonde
5. Polynômes et fractions. (à détailler !)
ANALYSE 1 :
1. La droite
réelle
Droite
achevée. Intervalles, majorant minorant. Bornes supérieure et inferieures,
densité de Q.
2. Suites
numériques
Définition
et priorité. Limite et critères de convergence. Sous suite, théorème de
Bolzano-Wieirstrass.
3. Fonction
d’une variable réelle
Limite,
continuité, dérivabilité, représentation graphique, Théorèmes de Rolle et des
accroissements finis,
formules
de Taylor et de Mc-Laurin, Fonction usuelles.
4.
Développements limités
Définition
propriétés, opérations sur les DL, calcul des limites, développement
asymptotique et branches infinies, applications.
5. Calcul
Intégral
-Fonctions
es escalier : Définitions et propriétés, intégrale de Riemann et primitive,
calcul intégral : intégration par partie, changement de variable et intégrales
des fractions rationnelles.
6. Equations
différentielles
-Equations
différentielles scalaires du premier ordre, équations différentielles scalaires
de second ordre à coefficients constants.
ALGEBRE 2:
1.
Matrices
2. Déterminants
3. Polynômes
d’endomorphismes
4. Eléments
propres
5. Diagonalisation
6. Trigonalisation
7. Systèmes
différentiels
ANALYSE 2 :
1.
Intégrales sur un intervalle quelconque
2.
Intégrales dépendant d’un paramètre
3.
Espaces métriques et Espaces vectoriels normés
4.
Topologie d’un espace vectoriel normé
5.
Continuité des applications linéaires et normes subordonnées
ALGEBRE 3:
1.
Formes bilinéaires
Formes
bilinéaires, Matrice d’une forme bilinéaire, Forme quadratique, matrice d’une
forme quadratique et notion de rang, Bases orthogonale par rapport à une forme
quadratique, Forme quadratique réelle,
Signature
d’une forme quadratique
2.
Espaces euclidiens
Produit
scalaire, Espace préhilbertien, Orthogonalité, Espaces euclidiens, Processus
d’orthogonalisation, orthogonal d’un espace vectoriel, Projecteurs orthogonaux
et symétrie
Distance
à un sous espace vectoriel
3.
Adjoint d’un endomorphisme
Endomorphisme
symétrique, Théorème spectral, Endomorphisme orthogonal, Matrice symétriques
définies
positives, Racine carré d’une matrice
4.
Polynômes Orthogonaux
Polynômes de Legendre, Polynômes
de Tchebychev, Polynômes d’Hilbert
ANALYSE 3 :
1.
Dérivation et Intégration des fonctions vectorielles à variable réelle
2.
Calcul différentiel
3.
Formes différentielles, intégrales curvilignes, intégrales doubles.
4.
Séries numériques
5. Suites et Séries de Fonctions
ANALYSE 4 :
1.
Séries Entières
2.
Séries de Fourier
3.
Transformée de Fourier, Transformée de Laplace
4.
Fonctions holomorphes
5.
Fonctions Zeta de Riemann et fonction Gamma d’Euler complexes
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