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Affichage des articles du 2010

Une équation juste pour le plaisir de raisonner

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Il semble que beaucoup de questions formulées autour des entiers naturels et leurs propriétés ne soient pas si simples à résoudre. Après la mésaventure des grands mathématiciens avec la suite de Syracuse (voir notre billet qui propose en plus deux autres suites bien méchantes!), je vous invite à examiner ce minuscule problème:
Voir une 1ère solution




Dans quels cas l'écart-type est-il égal à l'écart moyen?

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Le but de cet exercice est de caractériser les séries statistiques réelles dont l’écart moyen et l’écart-type sont égaux.
Un résultat très intéresssant: L'écart moyen est toujours inférieur à l'écart-type. Le seul cas (non trivial) où ces deux écarts sont égaux est lorsque la série statistique est composée de deux "mesures" de même fréquence.
On a essayé de répondre le plus simplement possible aux questions posées, sans vouloir utiliser l'inégalité de Cauchy-Shwarz.
Voir l'énoncé et la solution de l'exercice sous format PDF. Dans le cas où vous rencontrez un problème d'affichage ou de téléchargement, réessayez avec celien.

Suites récurrentes d'entiers dont le "démon" de Syracuse

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Voici un exercice sur les suites récurrentes que vous ne risquez pas d'avoir en colle ou dans une épreuve écrite de mathématiques!
Question 1:
En principe, répondre à cette question ne doit pas poser de grandes difficultés. Avant de vouloir conjecturer, examiner d'abord cette autre situation (Syracuse légèrement modifiée): 
Question 2: 


Mise-en-garde pour les non-avertis:les plus brillants des grands mathématiciens se sont cassés les dents en voulant résoudre la "Conjecture de Syracuse"!
Voici un autre énoncé, mais inédit, sur lequel vous ne pouvez pour le moment que conjecturer : 
Question 3: 
Et ne voulant pas vous laisser partir sans rien "remporter" avec vous tout en vous remerciant pour cette visite au blog, je vous propose ce petit énoncé bien amusant:

Question 4:

Est-il suffisant de supposer l'application  f strictement croissante pour pouvoir l'exprimer explicitement?

Comme l'a dit mon ami MathOMan sur son blog: "Même des questions co…

Raisonner par contraposée (proposition quantifiée)

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Parfois, il serait plus facile de montrer que la proposition contraposée est vraie, à condition de bien formuler les négations des propositions, surtout si elles sont quantifiées (universel et existentiel)
Voici un exemple :

  Mais, la résolution de  l'exercice est très difficile à mener par des élèves de lycée, les nouveaux apprenti-mathématiciens! Pourtant, on le trouve dans le manuel officiel de SM1 du programme marocain! L'énoncé proposé dans ce même manuel est tout autre. Il comporte une erreur! Comme d'ailleurs, un grand nombre d'exercices qui s'y trouvent!! C'est désolant...

Corrigé:

Etablir une égalité par récurrence (Série réelle)

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Un exemple d'une égalité à démontrer par récurrence.


Chaque fois que l’égalité est précisée dans l'énoncé, on pourra raisonner par récurrence.
Comme c'est le cas ici!

Parfois, même si l’égalité n’est pas donnée, on commencera par calculer les premiers termes pour essayer de voir quelle serait l’expression du terme du deuxième membre en fonction de n, dans le cas général. Et c’est le raisonnement par récurrence qui permettra de ‘‘valider’’ cette expression formulée !


 


Attention, ce même exercice peut être résolu différemment! Par décomposition en éléments simples... Question de temps!

Collier de billes bicolores

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Est-il possible de partager un ensemble de 15 billes bicolores en deux parties de telle manière à ce qu'il n' y est aucun collier dans chacune des deux parties?
On appelle collier, un ensemble formé par autant de billes que de couleurs. On précise qu'on a une seule bille pour chaque paire de couleurs choisies parmi 6 et donc jamais une paire ne peut constituer un collier.

Points géométriques à colorier!

Tout point du plan affine est coloré par une et une seule couleur.
Dans le cas où  toutes les droites du plan sont unicolores ou bien bicolores, quel est le nombre maximum de couleurs pouvant être utilisées?

Etablir une inégalité par le signe de la différence

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Raisonner par l'absurde (Hippasus / nombre irrationnel)

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Un exemple de raisonnement par l'absurde:
 
   
 . . .

Etablir une inégalité par récurrence (Bernoulli)

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Un exemple d'inégalité à démontrer par récurrence.
L'énoncé et la réponse sont en image, en français et en arabe.



Pour les avertis, on pourra utiliser le binôme de Newton pour établir la même inégalité, sinon étudier le signe d'une fonction numérique d'une variable réelle en partant de la différence entre les deux membres de l'inégalité (étude des variations)

NB: Cette inégalité porte le nom de Bernoulli.

Brousseau: La théorie des situations didactiques

La théorie des situations didactiques

Cours donné lors de l’attribution à Guy Brousseau du titre de Docteur Honoris Causa de l’Université de Montréal

Définition:
Une situation est l’ensemble des circonstances dans lesquelles une personne se trouve, et des relations qui l’unissent à son milieu. Prendre comme objet d’études les circonstances qui président à la diffusion et à l’acquisition des connaissances conduit donc à s’intéresser aux situations. Les situations didactiques sont, dans la langue française, des situations qui servent à enseigner. Deux points de vue s’opposent alors : Selon le premier, la situation est l’environnement de l’élève mis en oeuvre et manipulé par l’enseignant ou l’éducateur qui la considère comme un outil. Selon le second, la situation didactique est l’environnement tout entier de l’élève, l’enseignant et le système éducatif lui même y compris.
Par Guy Brousseau
Pr. Emérite (IUFM d’Aquitaine)

Lire ou télécharger le document La théorie des situations didactiques

Brousseau: Les obstacles épistémologiques (1989 bis)

Obstacles épistémologiques, conflits socio-cognitifs et ingénierie didactique 1989

Ce texte se compose de deux parties: - Dans la première je propose de distinguer un certain nombre de concepts : obstacle épistémologique, obstacle cognitif, et d’envisager le rôle des conflits socio-cognitifs dans leur évolution - La deuxième est un essai de terminologie. J’y étudie les relations qu’entretiennent à priori, dans le cadre de la didactique, les conflits socio-cognitifs et les obstacles épistémologiques.

Par Guy Brousseau
Université de Bordeaux I

Titre du texte: Obstacles épistémologiques, conflits socio-cognitifs et ingénierie didactique
Langue Français Date de production, écriture 1989
Equipe de recherche IREM de Bordeaux Nom de la revue ou de l’ouvrage : Construction des savoirs , Obstacles et Conflits Sous la direction de Nadine Bednarz, Catherine Garnier Editeurs: CIRADE Les éditions Agence d’Arc inc. Date de publication 1989 Page 277-285
Mots-Clés: Obstacles épistémologiques, mathématiques, didact…

Brousseau: Les obstacles épistémologiques (1989)

Les obstacles épistémologiques et la didactique des mathématiques 1989

L’auteur s’est intéressé à la notion d’obstacle épistémologique après avoir observé les avantages du saut de complexité. L’introduction d’un aspect nouveau de certaines notions déjà apprises (par exemple l’enseignement de divisions dans les décimaux après celle des divisions euclidiennes) est plus facile si les situations nouvelles sont très différentes – plus complexes – que si elles le sont peu. L’ancienne conception persiste et provoque des erreurs dans l’usage de la nouvelle. L’évolution ordinaire, par hérédité directe et petites modifications, créée des difficultés d’apprentissage spécifiques.Ce fait fut rapproché de la notion d’obstacle épistémologique dans l’histoire des Sciences expérimentales. L’article donne un résumé des résultat de quelques unes des recherches effectuées entre 1975 et 1988 qui ont montré l’existence d’obstacles épistémologiques en mathématiques, soit par des expériences d’enseignement qui…

Brousseau: Obstacles épistémologiques (1998)

Obstacles épistémologiques, problèmes et ingénierie didactique 1998

Dans cet article, l’auteur examine et discute la reprise en didactique des mathématiques de la notion d’obstacle épistémologique forgée par Gaston Bachelard (1938). Pour cela, il met en évidence certains caractères spécifiques de cette notion, notamment le fait qu’un obstacle épistémologique soit constitutif de la connaissance achevée.
Par là, l’identification et la caractérisation d’un obstacle sont essentielles à l’analyse et à la construction des situations didactiques. Ces questions sont illustrées par les cas particuliers de la construction des nombres décimaux, rationnels et relatifs.
Par Guy Brousseau
Pr. Emérite (IUFM d’Aquitaine) Langue : Français

Nom de l’ouvrage:  La théorie des situations didactiques
Editeur:  La pensée sauvage éditions Grenoble
Date de publication 1998
Pages 115-160

Mots-Clé:
Obstacle épistémologique ; obstacle didactique ; apprentissage ; erreur ; nombres décimaux ; nombres rationnels ; nombres r…

Brousseau: Les doubles jeux de l’enseignement des maths

Les doubles jeux de l’enseignement des mathématiques 2001

Cet article est une synthèse : l’auteur récapitule les éléments essentiels de la théorie des situations et la nature des rapports d’un sujet avec son milieu qui sont irréductiblement typiques d’une connaissance précise. Le jeu est dans un certain sens qu’il précise, le modèle principal de l’activité humaine. Pour être sapiens, homo doit être ludens. En énumérant les éléments fondamentaux du modèle général, il distingue le joueur de l’actant et rappelle la primauté de la spécificité des connaissances sur tout autre considération pour l’apprentissage conçu comme adaptation spontanée à un jeu. Il précise que l’objet de son étude est l’automate que tendent à former une situation et ses actants. Dans une deuxième partie il applique son modèle et considère les mathématiques comme jeux et définit les situations et l’activité mathématiques, « mathématiser », faire des mathématiques… Il considère ensuite le jeu de l’enseignement des math…

Brousseau: Education et Didactique des mathématiques

Education et Didactique des mathématiques

Cet article est une synthèse destinée à présenter quelques originalités de la didactique des mathématiques, à des professeurs de mathématiques accoutumés à envisager des approches plus classiques fondées sur la psychologie ou les sciences de l'éducation. Un court rappel des origines de la théorie des situations mathématiques et une application à l'enseignement des nombres naturels au début de la scolarité permettent d'introduire quelques concepts fondamentaux et leur raison d'être. L'inventaire des types de situations mathématiques permet de préciser l'usage des principaux répertoires et leurs modes d'apprentissages distincts et d'en déduire les différences entre l'objet des recherches de psychologie et celui de l'étude des situations mathématiques. Il s'ensuit une présentation rapide des notions d'obstacles épistémologiques, de connaissances relatives et de transposition didactique. La théorie de…

Gros festin pour une araignée, pauvre mouche!...

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Montrer que l’araignée A finira par capturer la mouche M, en se déplaçant d’une case à l’autre, aléatoirement, même sans ses facultés naturelles ; la mouche M étant immobile dans sa case.

Examiner le cas où la mouche M change aussi de cases aléatoirement, à la même vitesse constante que l’araignée A.

Voir la preuve de la première situation...

Recueil d'inégalités mathématiques de Pierre Bornsztein

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Il s’agit de présenter les inégalités classiques que doit connaître tout candidat aux compétitions de Mathématiques de niveau national ou international. Elles sont accompagnées d’exemples d’applications corrigés, et de divers exercices d’entraînement tirés en général des différentes compétitions qui ont lieu de par le monde, et regroupés par thèmes. Attention, même s’il y a souvent plusieurs façons possibles de prouver une inégalité, ce regroupement est une aide importante dans la recherche de la solution.
Pierre BORNSZTEIN (Octobre 2001)
Document mis en ligne pour une large diffusion...

Un exemple d'application de la dichotomie en topologie.

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Si A est une partie fermée de IR pour laquelle il existe un certain p dans ]0,1[ vérifiant pour tout couple (x,y) d'éléments de A, on a px+(1-p)y est toujours un élément de A alors, A est une partie convexe de IR, donc un intervalle fermé de IR.

Le résultat reste vrai pour tout evn de Banach (mais sans être toutefois un intervalle).


Pour télécharger un doc pdf, cliquer ici.
En cas de problème d'affichage, essayer ce lien...





Brousseau: Observation des activités didactiques

L’observation des activités didactiques; Guy BROUSSEAU 1978

Ce texte est une sorte de manifeste où l’auteur détermine les phénomènes didactiques comme « ceux qui ne peuvent être compris sans que l’on fasse intervenir la spécificité du savoir et sans qu’on doive en sortir. Il définit la didactique comme projet social de faire approprier un savoir et la Didactique comme la science qui l’étudie.

L’observation et ses conditions limites y est fondée sur une théorie commune au processus génétique des connaissances mathématiques et à celui de recherche en didactique. Il présente l’organisation du système d’observation qu’il a créé autour des écoles Michelet de Talence et qui deviendra le COREM

Dans une deuxième partie, il étudie les types d’observation et les problèmes qui s’y posent suivant les types de recherches. Il évoque les méthodes d’analyse fondées sur la sémiologie et sur les statistiques.

Par Guy BROUSSEAU (Professeur émérite, IUFM d’Aquitaine)

Commentaires:

Cet article ne fait pas enco…

Brousseau; L’émergence d’une Science de la Didactique

L’émergence d’une Science de la Didactique des Mathématiques : motifs et enjeux

Cet article présente de façon succincte les souvenirs de son auteur sur les circonstances et sur les évènements qui ont présidé à l’émergence de la didactique comme « science ». Il résume sa vision des événements qui se sont déroulés à partir de 1960 et auxquels il a activement participé. Il rappelle les questions posées et les défis de l’entreprise conjuguée des mathématiciens et des professeurs dans les réformes de l’époque. Il rappelle le rôle initial des IREM, puis les difficultés et les enjeux de l’exaltante apparition de la didactique comme « Science des conditions de la diffusion des connaissances mathématiques utiles aux hommes et à leurs institutions ». Cette science, qui s’oppose à la didactique classique qui suppose l’indépendance des méthodes d’enseignement et des contenus, a pris principalement en charge jusqu’à ce jour l’étude « du projet social de faire approprier par des « élèves », un savoi…

Une équation pas méchante avec des radicaux!

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Résoudre dans l'ensemble des couples des réels positifs, l'équation paramétrée par a et b, deux réels strictement positifs: Conseil: Ne pas vous aventurer en élévant au carré! Tout le matériel didactique est nécessaire...


Eléments de réponse, en tenant compte du commentaire de Mr Abdelkaber.

Identités remarquables de degré 3

Une illustration géométrique de l'idendité (a+b)^3 à découvrir sur le site Homeomath qui, pour l'occasion, est une mine riche en ressources numériques permettant de mener des activités mathématiques, au niveau du lycée, dont:
Utilisation de la calculatrice des polynômes pour vérifier vos calculs
Factorisation d'un polynôme avec une identité remarquable

OUAZZI: Pour une recherche pédagogique de qualité

Comment peut-on assurer une recherche pédagogique de qualité?  Méthodologie et techniques ...
Par Mohamed OUAZZI, CPR de Safi, 2007-2008
Afficher le document(sous format PDF, en Arabe 100 Ko). En cas de problème d'affichage, cliquer ici.

Mohamed OUAZZI est professeur-formateur des enseignants, spécialiste des Sciences de l'Education. Il travaille au Centre Pédagogique Régional de Safi (Maroc) depuis 1980, où il a pu capitalisé expériences et compétences.
A son actif, plusieurs publications et articles.

Equivalence des normes de IR2, démonstration simplifiée

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Dans certains passages des programmes des mathématiques, selon le niveau et la filière considérés, il est souvent question de mobiliser un champ conceptuel plus large pour établir une classe de résultats dans le cas général. Cependant, il est possible de restreindre le champ dans des cas particuliers, en ne faisant intervenir que des notions plus élémentaires et des résultats aisément faciles à appliquer. C’est le cas de l’équivalence des normes de IRn qui nécessite des notions et des résultats de Topologie Générale, à savoir :
 Ensembles compacts d’un espace métrique,
 Disque-unité d’un espace vectoriel normé de dimension finie,
 Compacité du disque-unité,
 Propriétés des fonctions numériques définies sur des parties compactes.
Dans ce qui suit, nous présentons une démonstration de ce théorème, adaptée au cas particulier de IR2, en utilisant des résultats beaucoup plus élémentaires que ceux que nous venons de citer.

Démonstration proposée :



Démonstration proposée sous format PDF

Groupes à éléments d'ordre 2

Tout groupe dont tous les éléments sont d'ordre 2, est abélien.

En effet, soient a et b deux éléments de ce groupe. On a:
a.b=(a.b)^-1=b^-1.a^-1=b.a
On rappelle qu'un élément x est dit d'ordre 2, s'il vérifie x^2=e (e étant l'élément neutre du groupe).
Il s'ensuit que x^-1=x et donc x est son propre inverse.

Des exemples de tels groupes:

({-1,1},x), (Z/2Z,+) et ((Z/2Z)^n,+) pour tout entier naturel n non nul.
On montre que tout groupe fini dont les éléments sont tous d'ordre 2 est isomorphe à ((Z/2Z)^n,+) pour un certain entier naturel n non nul.

Pouvez-vous proposer un exemple d'un tel groupe, mais infini?
Regardez toujours du côté de Z/2Z !

Note:
Cette ébauche est mise en ligne juste pour faire marcher les moteurs de recherche et pour montrer que certains textes mathématiques sont "rédigibles" par le plus pauvre des éditeurs!

C'est comme par un hasard...

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J'étais en déplacement au CFI de Safi, animant une session de formation d'enseignants sous le thème: TICE et développement professionnel, dans le cadre du programme GENIE.
Au moment de la pause café, j'ai remarqué cette disposition de "buches" et j'ai profité de l'occasion pour tester les pixels de mon nouveau cellulaire! Une fois capturée, je voulais chercher autre chose à photographier, en allant m'aventurer derrière les salles de cours, plus loin, et plus loin encore, vers le mur de la clôture de l'établissement...
Et là, je me suis trouvé face à face avec des chiens de garde du centre, pour lesquels j'étais un intrus!!!
...
J'ai pu terminer la séance du jour... Heureusement!...



Note: Je ne peux pas vous montrer la photo de ces monstres, puisque je ne l'avais pas prise pour la raison que vous connaissez certainement...

Exos-prepa-maths-CU1

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Exos-prepa-maths-CU1: une série d'exercices de mathématiques, une amorce de préparation aux examens et concours, premier cycle universitaire. Document au format PDF; 240 Ko.







Série de Fourrier d'une fonction

Utilisation des options de l'Excel, pour approcher la fonction-série de Tchebycheff T(f) et la fonction-série  de Fourrier F(f), pour une classe de fonctions, en vue de pouvoir conjecturer certains résultats connus;
Illustration de la Série de Tchebycheff d'une fonction: . Feuille de calcul Microsoft Excel; 939 Ko (Compression à 434 Ko ). Illustration de la Série de Fourrier d'une fonction: Feuille de calcul Microsoft Excel; 2763 Ko (Compression à 773 Ko ).

Livre Blanc MEN Maroc

Livre Blanc : Méthodologie et programmes; orientations pédagogiques; document cadre; profil des apprenants; ... primaire et secondaire; collège et lycée. Source MEN Maroc.
Il est conseillé de télécharger le doc en entier puis de décompresser l'Archive WinRAR; Fichiers HTML; 5 926 Ko.


Orientations Pédagogiques ; Mathématiques; Secondaire Qualifiant; MEN Maroc

Situation-problème didactique

Situation-problème didactique : De quelle situation parle-t-on? Situation "cible", ou situation de réinvestissement ou situation d'intégration? Un exemple, les différences, rôle (exposé). Diaporama Microsoft PowerPoint; 95 Ko.

Compétences et programmes d'étude

Compétences et programmes d'étude : Le concept de compétence peut-il être un organisateur des programmes d'étude? Exposé de Philippe Jonnaert. Diaporama Microsoft PowerPoint; 255 Ko

La richesse didactique de la résolution des problèmes, par Farid MITA

Article de communication; apprentissage par résolution des problèmes, heuristique, classification des problèmes, formulation et "habillage" des problèmes: La richesse didactique de la résolution des problèmes mathématiques (Cliquer sur le titre pour télécharger le document sous format PDF 168 Ko.; document disponible en Arabe)
الغنى الديداكتيكي الرياضيةلحل المسائل