Un petit exercice sur les dimensions vectorielles

Soient f et g, deux endomorphismes sur un IK-espace vectoriel de dimension finie tels que :


E=Im f + Im g et E=Ker f + Ker g

Montrer que ces deux sommes sont directes.



Il suffit de raisonner en termes de dimensions ! On a :
(E1) dim Im f +dim Im g = dim E +dim ( Im f ^ Im g )

(E2) dim Ker f + dim Ker g = dim E +dim ( Ker f ^ Ker g )

(E3) dim Im f + dim Ker f = dim E

(E4) dim Im g + dim Ker g = dim E
En combinant (E1)+(E2)-(E3)-(E4), on obtient : dim ( Im f ^ Im g ) + dim ( Ker f ^ Ker g )=0
et par suite :


dim ( Im f ^ Im g ) =0 et dim ( Ker f ^ Ker g )=0


(le symbole ^ désigne celui de l'intersection entre les ensembles)

Voilà mon ami! Vous êtes servi...

3 commentaires:

  1. Justement, j'ai une petite question à vous poser concernant les endomorphismes en dimension finie pour lesquels le noyau est égal à l'image. Lesquels?

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  2. D'abord, la dimension de E doit être nécessairement paire n=2p. Et dans ce cas, vous pouvez considérer (e1, e2, ...,ep) une base du Kerf et en même temps celle de l'Imf, puis la compléter par (e(p+1), ..., en) pour avoir une base de E.
    L'endomorphisme f se définit alors par:
    f(x)=u1(x)e1+u2(x)e2+...+up(x)ep où les u1, u2, ... et up sont des formes linéaires non nulles sur E mais ayant le même noyau qui est Kerf.
    Or, en considérant p(x,y)=x1y1+x2y2+...+xnyn comme produit scalaire sur E, il existe pour chaque i de 1 à p, un vecteur vi telque ui(x)=p(vi,x) et vi orthogonal à tous les e1, e2, ... et ep, c'est-à-dire vi est une combinaison linéaire des e(p+1), ... et e(n) seulement.

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  3. Suite:
    en dim finie, Kerf=imf si et seulement si
    dimE=2p et il existe une base (e(1), e(2), ..., e(2p)) vérifiant:
    f(x(1)e(1)+x(2)e(2)+....+x(2p)e(2p))=x(p+1)e(1)+x(p+2)e(2)+....+x(2p)e(p)

    pour e(i) lire e indice i
    de même pour x(i) lire x indice i.

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