Médiane et moyenne intéressantes à chercher!

Par Farid Mita -
Avec les dix chiffres du système de numération décimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, on peut former 9*9! soit, 3265920 nombres entiers de dix chiffres si l'on s'interdit d'utiliser un chiffre plus d'une fois.
Ainsi le plus petit de ces nombres est 1023456789, le plus grand est 9876543210.
En ordonnant tous ces nombres dans l'ordre croissant, on peut déterminer le 1632960ème et le 1632961ème termes puis considérer leur demi-somme appelée par convention, la médiane de tous ces 3265920 nombres.
Alors, à votre abaque!
La recherche de la moyenne arithmétique de ces nombres mérite aussi votre attention...



Merci à Sigma pour votre contribution!

Commentaires

  1. sigma!!12 novembre 2011 à 18:25

    Le calcul de la médiane est un problème de "buchettes".
    Par contre, le calcul de la moyenne est mathématiquement plus intéressant:
    Dans un premier temps, on considère tous les entiers formés par les 10 chiffres, chacun étant utilisé une et une seule fois, en autorisant même le 0 pour chiffre de la plus haute puissance de 10. De tels nombres, il y en a 10! et peuvent s'écrire sous la forme de N(p)=p(0)+p(1)*10+...+p(9)*10^9 où p est une permutation de l'ensemble des 10 chiffres {0, 1, ..., 9}, ce dernier étant noté par P(10).
    Ainsi Somme(N(p)/p élément de P(10))=Somme(k=0;k=9;10^k*Somme(p(k)/p élément de P(10)))=9!*9*10/2*Somme(k=0;k=9;10^k)=5*9!*(10^10-1)
    Maintenant, considérons les entiers du même type mais dont le 10ème chiffre est justement le 0. Il y en a 9! Ils s'écrivent sous la forme de N(p)=p(1)+p(1)*10+...+p(9)*10^8 où p est une permutation de l'ensemble des 9 chiffres {1, 2, ..., 9}, ce dernier étant noté par P(9).
    Et donc Somme(N(p)/p élément de P(9))=Somme(k=0;k=8;10^k*Somme(p(k+1)/p élément de P(9)))=8!*9*10/2*Somme(k=0;k=8;10^k)=5*8!*(10^9-1)
    Ainsi la somme de tous les nombres permis par le problème posé est:
    S=5*9!*(10^10-1)-5*8!*(10^9-1)
    soit S=5*8!*(9*10^10-9-10^9+1)=5*8!*(89*10^9-8)
    Il suffit de diviser cette somme par le nombre de tels entiers qui est 10!-9!=9*9! pour trouver la moyenne M=5*(89*10^9-8)/81=5493827160
    Une découverte! La moyenne est un entier naturel! Mieux encore, il est du même type que les 9*9! entiers permis par le présent problème, c'est-à-dire formé par les dix chiffres de 0 à 9 sans répétition!!

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  2. Farid Mita17 novembre 2011 à 18:43

    Merci sigma!
    Comme vous pouvez le remarquer sur le doc pdf joint à ce post, j'ai tenu compte de la solution que vous avez proposée...

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