Un bel exemple de suites ultimement périodiques

Pouvez-vous montrer que la suite définie par :

où N est un entier naturel non nul, est bornée et donc ultimement périodique?

Dans le cas où la suite n'est pas stationnaire, vérifier que la période est indépendante de N et déterminer les valeurs ultimes de la suite...

(On adoptera la représentation décimale pour toutes les valeurs de la suite)