Equivalence des normes de IR2, démonstration simplifiée

Dans certains passages des programmes des mathématiques, selon le niveau et la filière considérés, il est souvent question de mobiliser un champ conceptuel plus large pour établir une classe de résultats dans le cas général. Cependant, il est possible de restreindre le champ dans des cas particuliers, en ne faisant intervenir que des notions plus élémentaires et des résultats aisément faciles à appliquer. C’est le cas de l’équivalence des normes de IRn qui nécessite des notions et des résultats de Topologie Générale, à savoir :
 Ensembles compacts d’un espace métrique,
 Disque-unité d’un espace vectoriel normé de dimension finie,
 Compacité du disque-unité,
 Propriétés des fonctions numériques définies sur des parties compactes.
Dans ce qui suit, nous présentons une démonstration de ce théorème, adaptée au cas particulier de IR2, en utilisant des résultats beaucoup plus élémentaires que ceux que nous venons de citer.

Démonstration proposée :