Groupes à éléments d'ordre 2
Tout groupe dont tous les éléments sont d'ordre 2, est abélien.
En effet, soient a et b deux éléments de ce groupe. On a:
On rappelle qu'un élément x est dit d'ordre 2, s'il vérifie x^2=e (e étant l'élément neutre du groupe).
Il s'ensuit que x^-1=x et donc x est son propre inverse.
Des exemples de tels groupes:
({-1,1},x), (Z/2Z,+) et ((Z/2Z)^n,+) pour tout entier naturel n non nul.
On montre que tout groupe fini dont les éléments sont tous d'ordre 2 est isomorphe à ((Z/2Z)^n,+) pour un certain entier naturel n non nul.
Pouvez-vous proposer un exemple d'un tel groupe, mais infini?
Regardez toujours du côté de Z/2Z !
Note:
Cette ébauche est mise en ligne juste pour faire marcher les moteurs de recherche et pour montrer que certains textes mathématiques sont "rédigibles" par le plus pauvre des éditeurs!
En effet, soient a et b deux éléments de ce groupe. On a:
a.b=(a.b)^-1=b^-1.a^-1=b.a
On rappelle qu'un élément x est dit d'ordre 2, s'il vérifie x^2=e (e étant l'élément neutre du groupe).
Il s'ensuit que x^-1=x et donc x est son propre inverse.
Des exemples de tels groupes:
({-1,1},x), (Z/2Z,+) et ((Z/2Z)^n,+) pour tout entier naturel n non nul.
On montre que tout groupe fini dont les éléments sont tous d'ordre 2 est isomorphe à ((Z/2Z)^n,+) pour un certain entier naturel n non nul.
Pouvez-vous proposer un exemple d'un tel groupe, mais infini?
Regardez toujours du côté de Z/2Z !
Note:
Cette ébauche est mise en ligne juste pour faire marcher les moteurs de recherche et pour montrer que certains textes mathématiques sont "rédigibles" par le plus pauvre des éditeurs!
L'ensemble des suites infinies à termes dans Z/2Z, muni de l'addition habituelle (terme à terme), est un groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre 2.
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