Groupes à éléments d'ordre 2

Tout groupe dont tous les éléments sont d'ordre 2, est abélien.

En effet, soient a et b deux éléments de ce groupe. On a:
a.b=(a.b)^-1=b^-1.a^-1=b.a

On rappelle qu'un élément x est dit d'ordre 2, s'il vérifie x^2=e (e étant l'élément neutre du groupe).
Il s'ensuit que x^-1=x et donc x est son propre inverse.

Des exemples de tels groupes:

({-1,1},x), (Z/2Z,+) et ((Z/2Z)^n,+) pour tout entier naturel n non nul.
On montre que tout groupe fini dont les éléments sont tous d'ordre 2 est isomorphe à ((Z/2Z)^n,+) pour un certain entier naturel n non nul.

Pouvez-vous proposer un exemple d'un tel groupe, mais infini?
Regardez toujours du côté de Z/2Z !

Note:
Cette ébauche est mise en ligne juste pour faire marcher les moteurs de recherche et pour montrer que certains textes mathématiques sont "rédigibles" par le plus pauvre des éditeurs!

1 commentaire:

  1. L'ensemble des suites infinies à termes dans Z/2Z, muni de l'addition habituelle (terme à terme), est un groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre 2.

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