Une équation pas méchante avec des radicaux!

Résoudre dans l'ensemble des couples des réels positifs, l'équation paramétrée par a et b, deux réels strictement positifs:
Conseil: Ne pas vous aventurer en élévant au carré! Tout le matériel didactique est nécessaire...


Eléments de réponse, en tenant compte du commentaire de Mr Abdelkaber.

12 commentaires:

  1. Mes plus sincères respects , cher GRAND PROFESSEUR . J'ai pu manipuler ladite équation en utilisant une méthode géométrique basée sur le théorème de LAKACHY : j'ai juxtaposé des triangles ayant mêmes sommets ( qui sont sommets d'angles de mesures pi/6 ) de façon à obtenir un global triangle rectangle en ce commun sommet et dont les deux cotés droits ont a et b pour respectives mesures . Ainsi , et en analysant la figure obtenue , et en utilisant les propriétés et conditions qui en découlents , la recherche des solutions de la " pas méchante " équation devient une recherche de mesures de longueurs ...
    effectivement , Monsieur , cette équation est un bel exemple illustrant que dans diverses situations de résolution de problèmes " Tout le matériel didactique est nécessaire" ....
    Merci , cher GRAND PROFESSEUR .

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  2. Bonjour et merci pour le commentaire...
    C'est effectivement une situation où l'on est amené à changer le cadre de travail.

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  3. Bonsoir cher PROFESSEUR . C'est la même figure geométrique que j'ai utilisée pour resoudre ladite équation ; avec des conditions prés . Seulement, jai commencer par prouver que si la dite équation admet des solutions alors on sera devant une telle figure dont les points signalés dans votre précieux commentaire sont nécessairement alignés .Et de ce fait , j'ai pu calculer les valeurs de x et y , en utilisant les relations métriques et trigonométriques et puis à la fin , bien sûr , j'ai vérifier que les valeurs trouvés remplissent l'égalité décrite par l'équation.Mais votre solution , Monsieur , est élégante .

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  4. Le problème est donc élucidé!
    Reste les généralisations possibles de cette équation, tout en gardant le même type de raisonnement.
    A votre avis?

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  5. On peut se concentrer sur la généralisation de ladite équation ,en cherchant des méthodes geométriques de sa résolution , mais on peut aussi ,Monsieur ,penser à généraliser la figure elle même et la relier à des équations !!!

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  6. En fait, historiquement, Une telle équation a été formulée d'après une situation géométrique, traduite par une figure semblable à celle qui est ci-proposée.

    Une généralisation possible peut se faire, en augmentant le nombre d'inconnues, en remplaçant racine(3) par 2*cos(alpha i) et racine(a^2+b^2) par AB de telle manière à ce que la somme de tous les alpha i soit une mesure de l'angle (OA,OB)...
    Bien sûr, la condition de l'égalité dans une inégalité triangulaire va se traduire par l'alignement des points sur la droite (AB).
    ..

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  7. Oui Monsieur . et par un heureux hasard , lorsque j'etais étudiant, je m'intéressais au problème de la trissection de l'angle et j'avais pu l'équivalencier à la résolution d'une équation de troisième degré .Et je parvins même grace à des manipulations algébriques et géometriques à proposer une méthode pour résoudre l'équation de troisième degré autre que celle proposée par Tataglia ,Viète et Cardan . Ah !Monsieur,quelle nostalgie !

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  8. Mise en garde: La trissection d'un angle n'est pas constructible à l'aide de la règle et du compas!
    ..
    oui! Je dirai même que c'était "délicieux" de retrouver soi-même les solutions à certains types de problèmes classiques des mathématiques, tout en étant élève, étudiant ou stagiaire!!

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  9. Oui !... et j'avais relié l'impossibilité de la trissection de l'angle ( dans le cas general) à la non constructibilité des racines de quelques équations de troisième degré .
    Mais...après avoir "savourer" la "délicieuse" victoire de résoudre un problème ,on se rend compte, tôt ou tard ,que sa "trouvaille mathématique" n'est qu'une retrouvaille !!! Et c'est la vie de tout élève ou étudiant trop ambitieux !!!

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  10. En effet, personne n'a le droit de vous contester votre sérieux et vos compétences en tant qu'ancien stagiaire.
    Je reconnais que vous êtiez parmi les meilleurs que j'ai pu avoir comme étudiant dans ma classe de mathématiques.
    Dommage que vous vous êtes suffi de rester là où vous exercez!! Vous pouviez aller plus loin...
    Mais, heureusement que votre entourage vous témoigne respect pour ce que vous faites maintenant...
    Félicitations...

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  11. Je n 'oublierais jamais ,cher GRAND PROFESSEUR ,que c'est grace à vous que j'ai pu déguster la saveur agréable de l'analyse .Et un jour où je vous entendis dire que "la géométrie est la science la plus déductive" je je m'étais si bien rendu compte que j'avais la précieuse chance d'être l'un de vous élèves .Et ça me suffisait et me suffit encore . Mon plus profond respect ,cher GRAND PROFESEUR .

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