Points géométriques à colorier!

Tout point du plan affine est coloré par une et une seule couleur.
Dans le cas où  toutes les droites du plan sont unicolores ou bien bicolores, quel est le nombre maximum de couleurs pouvant être utilisées?

1 commentaire:

  1. Proposition : Soit E un espace affine sur un corps de caractéristique différente de 2 et soit X un sous-ensemble de E. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
    (1) X est un sous-espace affine.
    (2) Si A, B sont deux points distincts de X alors la droite (AB) est contenue dans X.

    Preuve : laissée en exercice.

    Corollaire : La réponse à la question posée ci-dessus est 3.

    Preuve : Il est clair que ça marche avec une seule couleur. Prenons donc le cas où n>1 couleurs sont utilisées. Fixons deux couleurs parmi elles, disons noir et rouge, et notons X la partie du plan étant noire ou rouge. Alors X vérifie la propriété (2) de la proposition. On en déduit que X est le plan P entier ou une droite ; dans le premier cas la preuve est terminée, dans le deuxième cas il existe une troisième couleur, disons jaune, dans P-X.
    Si tout P-X est jaune, c'est terminé. Sinon il existe dans P-X une quatrième couleur, disons bleu. Alors la partie Y du plan qui est jaune ou bleue est une droite parallèle à X et dans P-(XuY) il existe une cinquième couleur. En reliant un point de X avec un point de Y on trouve trois points alignés de couleurs distinctes, contradiction.

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