.:Horizon Maths Plus:.

En réponse à l'un des visiteurs du blog, qui parait être un  élève marocain de la 2ème année Sciences (Maths, Physique, SVT, ...) Cliquer sur la feuille (image) pour afficher sous format pdf. En cas de problème, réessayer ici .

Six équipes de football s'affrontent dans un tournoi rotation. Une victoire mérite  3 points et une partie nulle vaut  1 point. Après quelques matches, voici l'état de la situation dans lequel plusieurs données sont manquantes. Mais qu'à cela ne tienne, car vous pouvez tout de même déduire qui a affronté qui , et le résultat de chacune des parties .  Inspiré d'un problème sans solution,  publié par Synday Times Teasers, R. Tostill (éd), Penguin Books, 1973.

Pouvez-vous montrer que la suite définie par : où N est un entier naturel non nul, est bornée et donc ultimement périodique? Dans le cas où la suite n'est pas stationnaire, vérifier que la période est indépendante de N et déterminer les valeurs ultimes de la suite... (On adoptera la représentation décimale pour toutes les valeurs de la suite)

Souvent, pour atteindre l'un de mes blogs, les visiteurs utilisent un ensemble de mots clés dont Adhérence et Intérieur de Q, d'un intervalle de IR  pour la topologie usuelle de IR entre autres. C'est la raison pour laquelle je compte venir en aide à ces visiteurs en leur proposant de temps en temps ces quelques fragments de mathématiques classiques: L’Adhérence et l'Intérieur de Q et du sous-ensemble des nombres irrationnels dans IR : autres...

Avec les dix chiffres du système de numération décimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, on peut former 9*9! soit, 3265920 nombres entiers de dix chiffres si l'on s'interdit d'utiliser un chiffre plus d'une fois. Ainsi le plus petit de ces nombres est 1023456789, le plus grand est 9876543210. En ordonnant tous ces nombres dans l'ordre croissant, on peut déterminer le 1632960ème et le 1632961ème termes puis considérer leur demi-somme appelée par convention, la médiane de tous ces 3265920 nombres. Alors, à votre abaque! La recherche de la moyenne arithmétique de ces nombres mérite aussi votre attention... Voir une présentation de la solution sous format PDF . Merci à Sigma pour votre contribution!

Il semble que beaucoup de questions formulées autour des entiers naturels et leurs propriétés ne soient pas si simples à résoudre. Après la mésaventure des grands mathématiciens avec la suite de Syracuse (voir notre billet qui propose en plus deux autres suites bien méchantes!), je vous invite à examiner ce minuscule problème: Voir une 1ère solution

Le but de cet exercice est de caractériser les séries statistiques réelles dont l’ écart moyen et l’ écart-type sont égaux . Un résultat très intéresssant: L'écart moyen est toujours inférieur à l'écart-type. Le seul cas (non trivial) où ces deux écarts sont égaux est lorsque la série statistique est composée de deux "mesures" de même fréquence. On a essayé de répondre le plus simplement possible aux questions posées, sans vouloir utiliser l'inégalité de Cauchy-Shwarz. Voir l'énoncé et la solution de l'exercice sous format PDF. .

Voici un exercice sur les suites récurrentes que vous ne risquez pas d'avoir en colle ou dans une épreuve écrite de mathématiques! Question 1 : En principe, répondre à cette question ne doit pas poser de grandes difficultés. Avant de vouloir conjecturer, examiner d'abord cette autre situation (Syracuse légèrement modifiée):  Question 2 :  Mise-en-garde pour les non-avertis: les plus brillants des grands mathématiciens se sont cassés les dents en voulant résoudre la "Conjecture de Syracuse" ! La suite de Syracuse, un monde de conjectures par Luc-Olivier Pochon, Alain Favre Voici un autre énoncé, mais inédit , sur lequel vous ne pouvez pour le moment que conjecturer :  Question 3 :  Et ne voulant pas vous laisser partir sans rien "remporter" avec vous tout en vous remerciant pour cette visite au blog, je vous propose ce petit énoncé bien amusant: Question 4 : Est-il suffisant de supposer...

Parfois, il serait plus facile de montrer que la proposition contraposée est vraie, à condition de bien formuler les négations des propositions, surtout si elles sont quantifiées (universel et existentiel) Voici un exemple :  Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe    Mais, la résolution de  l'exercice est très difficile à mener par des élèves de lycée, les nouveaux apprenti-mathématiciens! Pourtant, on le trouve dans le manuel officiel de SM1 du programme marocain! L'énoncé proposé dans ce même manuel est tout autre. Il comporte une erreur! Comme d'ailleurs, un grand nombre d'exercices qui s'y trouvent!! C'est désolant... Corrigé:

Un exemple d'une égalité à démontrer par récurrence. Chaque fois que l’égalité est précisée dans l'énoncé, on pourra raisonner par récurrence. Comme c'est le cas ici! Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe Parfois, même si l’égalité n’est pas donnée, on commencera par calculer les premiers termes pour essayer de voir quelle serait l’expression du terme du deuxième membre en fonction de n, dans le cas général. Et c’est le raisonnement par récurrence qui permettra de ‘‘valider’’ cette expression formulée !   Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe    Attention, ce même exercice peut être résolu différemment! Par décomposition en éléments simples... Question de temps!