Le « problème du logarithme discret » en cryptographie
Par Christophe Delaunay
Professeur
des Universités au laboratoire de mathématiques de Besançon (page web)
Une approche du problème du logarithme discret pour les
enseignants.
Prérequis:
· Nombres
premiers ;
· algorithme
d’Euclide, pgcd ;
· congruences
et anneau
Introduction:
Étymologiquement,
le mot cryptographie provient du grec : kruptos (caché) et graphein
(écrire). Le cryptographe essaie donc de mettre en place des systèmes
cryptographiques, ou cryptosystèmes, fiables pour chiffrer (ou sécuriser) des
messages circulant dans un réseau de communication. De son côté, le
cryptanalyste tente de disséquer le système utilisé afin de trouver des
failles et d’obtenir une information à partir du message codé, appelé
cryptogramme. Cryptographie et cryptanalyse font tous deux partie du domaine
général qu’est la cryptologie : la science du secret (voir aussi ici).
On
se place dans la situation suivante : deux personnes, habituellement
dénommées Alice et Bob, échangent des informations via un réseau et un
intrus, Charlie ou Eve, espionne les transmissions. Dans ce contexte, les
quatre buts principaux de la cryptographie sont :
· la
confidentialité : les textes codés et envoyés par Alice et Bob ne
doivent pas être compris par Charlie ;
· l’authentification :
Bob doit pouvoir être sûr que l’auteur du message est bien Alice et non une
autre personne ;
· l’intégrité :
le message d’Alice reçu par Bob n’a pas pu être modifié par Charlie lors de
la transmission ;
· la
non-répudiation : Alice ne peut pas nier être l’auteur et avoir envoyé
son message une fois que celui-ci est transmis.
À
ces quatre buts s’ajoutent quelques autres comme, par exemple, jouer à pile
ou face au téléphone.
Il
y a deux grandes familles de cryptographie : la cryptographie à clef
secrète (ou symétrique) et la cryptographie à clef publique (ou asymétrique).
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