Le « problème du logarithme discret » en cryptographie

Par Christophe Delaunay

Professeur des Universités au laboratoire de mathématiques de Besançon (page web)
Une approche du problème du logarithme discret pour les enseignants.
Prérequis:
· Nombres premiers ;
· algorithme d’Euclide, pgcd ;
· congruences et anneau Z/nZ.


Introduction:

Étymologiquement, le mot cryptographie provient du grec : kruptos (caché) et graphein (écrire). Le cryptographe essaie donc de mettre en place des systèmes cryptographiques, ou cryptosystèmes, fiables pour chiffrer (ou sécuriser) des messages circulant dans un réseau de communication. De son côté, le cryptanalyste tente de disséquer le système utilisé afin de trouver des failles et d’obtenir une information à partir du message codé, appelé cryptogramme. Cryptographie et cryptanalyse font tous deux partie du domaine général qu’est la cryptologie : la science du secret (voir aussi ici).
On se place dans la situation suivante : deux personnes, habituellement dénommées Alice et Bob, échangent des informations via un réseau et un intrus, Charlie ou Eve, espionne les transmissions. Dans ce contexte, les quatre buts principaux de la cryptographie sont :
· la confidentialité : les textes codés et envoyés par Alice et Bob ne doivent pas être compris par Charlie ;
· l’authentification : Bob doit pouvoir être sûr que l’auteur du message est bien Alice et non une autre personne ;
· l’intégrité : le message d’Alice reçu par Bob n’a pas pu être modifié par Charlie lors de la transmission ;
· la non-répudiation : Alice ne peut pas nier être l’auteur et avoir envoyé son message une fois que celui-ci est transmis.
À ces quatre buts s’ajoutent quelques autres comme, par exemple, jouer à pile ou face au téléphone.
Il y a deux grandes familles de cryptographie : la cryptographie à clef secrète (ou symétrique) et la cryptographie à clef publique (ou asymétrique).

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