Raisonner par l'absurde (Hippasus / nombre irrationnel)

Un exemple de raisonnement par l'absurde:

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7 commentaires:

  1. Bonsoir cher GRAND PROFESSEUR .
    La démonstration de l'irrationnalité du nombre √2( qui se base sur un raisonnement par l'absurde )que vous avez proposée ci dessus est connue ,dans l'histoire des mathématique , sous le nom de démonstration par le pair et l'impair ; et elle a couté la vie à Hyppasus (un élève de l'école pythagoricienne ).On peut aussi prouver l'irrationnalité du nombre √2 en raisonnant par l'absurde ,mais en utilisant l'unicité de la décomposition en facteurs premiers d'un entier naturel : comparer les décompositions en facteurs premiers des deux membres de l'égalité a^2=2b^2 et trouver la contradiction ...

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  2. Cher collègue,
    loin de moi l'idée de redémontrer des résulats classiques établis jadis par nos ancêtres mathématiciens.
    Je suis sûr que vous saviez que je n'ai pas cette intention de faire...
    Ma pensée va vers ceux parmi ces élèves qui entamment pour la première fois une carrière d'apprenti-mathématicien, ceux qui sont en première seciences mathématiques.
    Je voulais leur présenter un exercice pour chaque type de raisonnement mathématique; l'exercice le plus classique possible, avec sa solution. Des bribes, quoi!! Pour l'instant, chapitre "LOGIQUE".

    Pour la seconde piste que vous exposez, il faut se rappeler que l'unicité de la décomposition en facteurs premiers est étudiée en fin de programme, et c'est un résultat admis sans démo!
    Merci pour votre contribution, si instructive, mon ami.

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  3. Merci infiniment.
    Et bonne initiative!
    J'essaierai de vous aider dans cette tâche, chaquefois que le temps me le permet!

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  4. العين لا تعلو على الحاجب ، يا أستاذي العزيز . شكرا على كرمكم .

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  5. Par cette locution de gratitude, et par ce témoignage, vous me rapplez un autre stagiaire des années 1986-1987, que j'ai eu comme étant mon propre formateur-expert en TICE, à Rabat en mai 2007!! Durant toute la session de formation, il n'a cessé de dire cette belle locution en Arabe.
    La relation Enseignant-Elève ( Formateur-Stagiaire) peut temporellement devenir "symétrique" au sens mathématique...
    (Pour l'occasion, il était de visite à sa famille ce week-end, et nous avons pris un café ensemble, en collègues bien-sûr)

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  6. Je vous propose un autre raisonnement:
    Ecrivons racine(2)=p/q avec p et q deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux.
    Ainsi, 2/1=p^2/q^2 et donc q^2=1 et p^2=2 et par suite q=1 et p^2-q^2=1 et donc (p-q)(p+q)=1 et donc p-q=p+q=1 c'est-à-dire p=1+q=2 et p=1-q=0 ce qui est absurde!

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    1. Oui
      mais on peut encore faire plus simple!!
      ...
      Ainsi, 2/1=p^2/q^2 et donc q^2=1 et p^2=2 et par suite q=1 et 1<p^2<4
      donc 1<p<2 p un entier entre 1 et 2 !??
      absurde
      d'où ...

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