Raisonner par contraposée (proposition quantifiée)

Parfois, il serait plus facile de montrer que la proposition contraposée est vraie, à condition de bien formuler les négations des propositions, surtout si elles sont quantifiées (universel et existentiel)

Voici un exemple :

Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe
  Mais, la résolution de  l'exercice est très difficile à mener par des élèves de lycée, les nouveaux apprenti-mathématiciens! Pourtant, on le trouve dans le manuel officiel de SM1 du programme marocain! L'énoncé proposé dans ce même manuel est tout autre. Il comporte une erreur! Comme d'ailleurs, un grand nombre d'exercices qui s'y trouvent!! C'est désolant...

Corrigé:

Etablir une égalité par récurrence (Série réelle)

Un exemple d'une égalité à démontrer par récurrence.


Chaque fois que l’égalité est précisée dans l'énoncé, on pourra raisonner par récurrence.
Comme c'est le cas ici!
Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe

Parfois, même si l’égalité n’est pas donnée, on commencera par calculer les premiers termes pour essayer de voir quelle serait l’expression du terme du deuxième membre en fonction de n, dans le cas général. Et c’est le raisonnement par récurrence qui permettra de ‘‘valider’’ cette expression formulée !



Cliquer sur l'image pour afficher le texte en arabe
 


Attention, ce même exercice peut être résolu différemment! Par décomposition en éléments simples... Question de temps!

Collier de billes bicolores

Le trio 123 est un collier
Est-il possible de partager un ensemble de 15 billes bicolores en deux parties de telle manière à ce qu'il n' y est aucun collier dans chacune des deux parties?

On appelle collier, un ensemble formé par autant de billes que de couleurs.
On précise qu'on a une seule bille pour chaque paire de couleurs choisies parmi 6 et donc jamais une paire ne peut constituer un collier.

Points géométriques à colorier!

Tout point du plan affine est coloré par une et une seule couleur.
Dans le cas où  toutes les droites du plan sont unicolores ou bien bicolores, quel est le nombre maximum de couleurs pouvant être utilisées?

Raisonner par l'absurde (Hippasus / nombre irrationnel)

Un exemple de raisonnement par l'absurde:

Cliquer sur l'image pour afficher le texte en Arabe

   
 . . .

Etablir une inégalité par récurrence (Bernoulli)

Un exemple d'inégalité à démontrer par récurrence.
L'énoncé et la réponse sont en image, en français et en arabe.



Pour les avertis, on pourra utiliser le binôme de Newton pour établir la même inégalité, sinon étudier le signe d'une fonction numérique d'une variable réelle en partant de la différence entre les deux membres de l'inégalité (étude des variations)

NB: Cette inégalité porte le nom de Bernoulli.

Brousseau: La théorie des situations didactiques

La théorie des situations didactiques

Cours donné lors de l’attribution à Guy Brousseau du titre de Docteur Honoris Causa de l’Université de Montréal

Définition:
Une situation est l’ensemble des circonstances dans lesquelles une personne se trouve, et des relations qui l’unissent à son milieu. Prendre comme objet d’études les circonstances qui président à la diffusion et à l’acquisition des connaissances conduit donc à s’intéresser aux situations. Les situations didactiques sont, dans la langue française, des situations qui servent à enseigner.
Deux points de vue s’opposent alors :
Selon le premier, la situation est l’environnement de l’élève mis en oeuvre et manipulé par l’enseignant ou l’éducateur qui la considère comme un outil.
Selon le second, la situation didactique est l’environnement tout entier de l’élève, l’enseignant et le système
éducatif lui même y compris.

Par Guy Brousseau
Pr. Emérite (IUFM d’Aquitaine)

Lire ou télécharger le document La théorie des situations didactiques

Brousseau: Les obstacles épistémologiques (1989 bis)

Obstacles épistémologiques, conflits socio-cognitifs et ingénierie didactique 1989

Ce texte se compose de deux parties:
- Dans la première je propose de distinguer un certain nombre de concepts : obstacle épistémologique, obstacle cognitif, et d’envisager le rôle des conflits socio-cognitifs dans leur évolution
- La deuxième est un essai de terminologie. J’y étudie les relations qu’entretiennent à priori, dans le cadre de la didactique, les conflits socio-cognitifs et les obstacles épistémologiques.

Par Guy Brousseau
Université de Bordeaux I

Titre du texte: Obstacles épistémologiques, conflits socio-cognitifs et ingénierie didactique

Langue Français
Date de production, écriture 1989

Equipe de recherche IREM de Bordeaux
Nom de la revue ou de l’ouvrage : Construction des savoirs , Obstacles et Conflits
Sous la direction de Nadine Bednarz, Catherine Garnier
Editeurs: CIRADE Les éditions Agence d’Arc inc.
Date de publication 1989
Page 277-285

Mots-Clés:
Obstacles épistémologiques, mathématiques, didactique, conflits socio-cognitifs,

Commentaire:
Ce petit texte accompagne un texte principal : "Les obstacles épistémologiques et la didactique des mathématiques" dans le même volume.

Origine : Contribution à un Colloque et à un ouvrage collectif
Catégorie : Texte publié,
Etat : Conditionné par l’éditeur


Brousseau: Les obstacles épistémologiques (1989)

Les obstacles épistémologiques et la didactique des mathématiques 1989

L’auteur s’est intéressé à la notion d’obstacle épistémologique après avoir observé les avantages du saut de complexité. L’introduction d’un aspect nouveau de certaines notions déjà apprises (par exemple l’enseignement de divisions dans les décimaux après celle des divisions euclidiennes) est plus facile si les situations nouvelles sont très différentes – plus complexes – que si elles le sont peu. L’ancienne conception persiste et provoque des erreurs dans l’usage de la nouvelle. L’évolution ordinaire, par hérédité directe et petites modifications, créée des difficultés d’apprentissage spécifiques.Ce fait fut rapproché de la notion d’obstacle épistémologique dans l’histoire des Sciences expérimentales.
L’article donne un résumé des résultat de quelques unes des recherches effectuées entre 1975 et 1988 qui ont montré l’existence d’obstacles épistémologiques en mathématiques, soit par des expériences d’enseignement qui étaient en fait des expériences d’épistémologie expérimentale, soit par des études historiques.

Titre du texte:  Les obstacles épistémologiques et la didactique des mathématiques
Auteur : Guy Brousseau
Pr. Emérite (IUFM d’Aquitaine)
Langue:  Français
Date de production, écriture 1989
Equipe de recherche IREM de Bordeaux
Origine : Contribution au Colloque « Construction des Savoirs » Montréal 1989, et à un ouvrage collectif

Nom de la revue ou de l’ouvrage : Construction des savoirs , Obstacles et Conflits
Sous la direction de Nadine Bednarz, Catherine Garnier
Editeurs:
CIRADE Les éditions Agence d’Arc inc.
Date de publication 1989
Pages 41-63

Mots-Clés :
Obstacles épistémologiques, mathématiques, didactique, conflits socio-cognitifs,

Commentaire:
Ce petit texte est accompagné dans le même volume d’une bibliographie substantielle sur ces recherches et d’un petit texte « Obstacles épistémologiques, conflits socio-cognitifs et ingénierie didactique.
Catégorie : Texte publié,
Etat : Conditionné par l’éditeur

Brousseau: Obstacles épistémologiques (1998)

Obstacles épistémologiques, problèmes et ingénierie didactique 1998

Dans cet article, l’auteur examine et discute la reprise en didactique des mathématiques de la notion d’obstacle épistémologique forgée par Gaston Bachelard (1938). Pour cela, il met en évidence certains caractères spécifiques de cette notion, notamment le fait qu’un obstacle épistémologique soit constitutif de la connaissance achevée.

Par là, l’identification et la caractérisation d’un obstacle sont essentielles à l’analyse et à la construction des situations didactiques. Ces questions sont illustrées par les cas particuliers de la construction des nombres décimaux, rationnels et relatifs.

Par Guy Brousseau
Pr. Emérite (IUFM d’Aquitaine)
Langue : Français

Nom de l’ouvrage:  La théorie des situations didactiques
Editeur:  La pensée sauvage éditions Grenoble
Date de publication 1998
Pages 115-160

Mots-Clé:
Obstacle épistémologique ; obstacle didactique ; apprentissage ; erreur ; nombres décimaux ; nombres rationnels ; nombres relatifs.

Commentaire:

Cet article reprend et complète un texte précédemment publié (sous des versions en partie différentes) :
en 1976 (CIEAEM, Louvain-la-Neuve), puis en 1983 (RDM vol 4-2).

Origine : Ce texte constitue le chapitre deux de l’ouvrage Brousseau (1998).
Etat : Conditionné par l’auteur

Lire ou télécharger : Les obstacles épistemologiques, Problèmes et Ingénierie didactique (1998)

Brousseau: Les doubles jeux de l’enseignement des maths

Les doubles jeux de l’enseignement des mathématiques 2001

Cet article est une synthèse : l’auteur récapitule les éléments essentiels de la théorie des situations et la nature des rapports d’un sujet avec son milieu qui sont irréductiblement typiques d’une connaissance précise. Le jeu est dans un certain sens qu’il précise, le modèle principal de l’activité humaine. Pour être sapiens, homo doit être ludens. En énumérant les éléments fondamentaux du modèle général, il distingue le joueur de l’actant et rappelle la primauté de la spécificité des connaissances sur tout autre considération pour l’apprentissage conçu comme adaptation spontanée à un jeu. Il précise que l’objet de son étude est l’automate que tendent à former une situation et ses actants. Dans une deuxième partie il applique son modèle et considère les mathématiques comme jeux et définit les situations et l’activité mathématiques, « mathématiser », faire des mathématiques… Il considère ensuite le jeu de l’enseignement des mathématiques et modélise ce à quoi jouent les professeurs. Il y discerne deux types de jeux : les jeux simples et les doubles jeux, de l’élève et du professeur donnant une nouvelle approche des phénomènes connus de la dévolution et de l’institutionnalisation et prolonge sa perspective aux jeux des mathématiciens et de l’enseignement avec l’enseignement. L’article est accompagné d’une annexe où il rapporte le résultat de ses études de cinq situations et de cinq jeux centrés sur des concepts mathématiques fondamentaux : le jeu de la démonstration avec qui dira 20, le jeu de la preuve, le nombre le plus grand, la modélisation de la société des mathématiciens, l’introduction à l’algèbre et à la géométrie. Un tableau final récapitule les différents sens du mot jeu.

Par Guy Brousseau
Pr. Emérite (IUFM d’Aquitaine)

Titre: Les doubles jeux de l’enseignement des mathématiques
Langue : Français
Date de production: 2001
Nom de la revue : Questions éducatives, l’école et ses marges,
Numéro spécial ; Didactique des Mathématiques
Centre de Recherches Université Jean Monnet Saint Etienne
Date de publication : 2002
Numéro 22-23
Pages 83-155
Mots-Clés:
Jeu ; joueur ; actant ; apprenant ; mathématisation ; dévolution ; paradoxe ; contrat faiblement/fortement didactique.
Commentaire:
Ce texte a servi de base et de référence à la conférence qui a été prononcée au cours du Colloque International « Rallyes Mathématiques, jeux, compétitions, clubs, et leurs retombées sur l’enseignement et l’image des mathématiques » organisé par la Commision Inter-IREM « Rallye » à Toulouse en juin 2001.
Présentation : texte auteur, conditionné pour l’édition


Brousseau: Education et Didactique des mathématiques

Education et Didactique des mathématiques

Cet article est une synthèse destinée à présenter quelques originalités de la didactique des mathématiques, à des professeurs de mathématiques accoutumés à envisager des approches plus classiques fondées sur la psychologie ou les sciences de l'éducation. Un court rappel des origines de la théorie des situations mathématiques et une application à l'enseignement des nombres naturels au début de la scolarité permettent d'introduire quelques concepts fondamentaux et leur raison d'être. L'inventaire des types de situations mathématiques permet de préciser l'usage des principaux répertoires et leurs modes d'apprentissages distincts et d'en déduire les différences entre l'objet des recherches de psychologie et celui de l'étude des situations mathématiques. Il s'ensuit une présentation rapide des notions d'obstacles épistémologiques, de connaissances relatives et de transposition didactique. La théorie des situations didactiques est introduite ensuite par l'inventaire des paradoxes du « contrat didactique » et par l'étude de l'épistémologie spontanée des professeurs. La dernière partie est consacrée à l'étude de la place, du rôle de la didactique des mathématiques dans l'éducation et dans la société et de l'intérêt qu'elle présente pour les partenaires de l'éducation.

Par Guy BROUSSEAU (Professeur émérite, IUFM d’Aquitaine)

Afficher le document sous format PDF Education et Didactique des Mathématiques Mexico (nombre de pages : 30; taille : 150 ko)
Communication au Congrès d’Aguas Calientes, Mexico 1999
Article paru en espagnol dans la revue Mexicaine « Educacion matematica » Vol 12 n°1 Abril 2000 pp 5-39.
Source: HAL Sciences de l'Homme et de la Société Archives ouvertes.

Gros festin pour une araignée, pauvre mouche!...

Montrer que l’araignée A finira par capturer la mouche M, en se déplaçant d’une case à l’autre, aléatoirement, même sans ses facultés naturelles ; la mouche M étant immobile dans sa case.


Examiner le cas où la mouche M change aussi de cases aléatoirement, à la même vitesse constante que l’araignée A.


Voir la preuve de la première situation...

Recueil d'inégalités mathématiques de Pierre Bornsztein

Il s’agit de présenter les inégalités classiques que doit connaître tout candidat aux compétitions de Mathématiques de niveau national ou international. Elles sont accompagnées d’exemples d’applications corrigés, et de divers exercices d’entraînement tirés en général des différentes compétitions qui ont lieu de par le monde, et regroupés par thèmes. Attention, même s’il y a souvent plusieurs façons possibles de prouver une inégalité, ce regroupement est une aide importante dans la recherche de la solution.

Pierre BORNSZTEIN (Octobre 2001)

Document mis en ligne pour une large diffusion...

Un exemple d'application de la dichotomie en topologie.

Si A est une partie fermée de IR pour laquelle il existe un certain p dans ]0,1[ vérifiant pour tout couple (x,y) d'éléments de A, on a px+(1-p)y est toujours un élément de A alors, A est une partie convexe de IR, donc un intervalle fermé de IR.

Le résultat reste vrai pour tout evn de Banach (mais sans être toutefois un intervalle).


Pour télécharger un doc pdf, cliquer ici.
En cas de problème d'affichage, essayer ce lien...

Brousseau: Observation des activités didactiques

L’observation des activités didactiques; Guy BROUSSEAU 1978

Ce texte est une sorte de manifeste où l’auteur détermine les phénomènes didactiques comme « ceux qui ne peuvent être compris sans que l’on fasse intervenir la spécificité du savoir et sans qu’on doive en sortir. Il définit la didactique comme projet social de faire approprier un savoir et la Didactique comme la science qui l’étudie.

L’observation et ses conditions limites y est fondée sur une théorie commune au processus génétique des connaissances mathématiques et à celui de recherche en didactique. Il présente l’organisation du système d’observation qu’il a créé autour des écoles Michelet de Talence et qui deviendra le COREM

Dans une deuxième partie, il étudie les types d’observation et les problèmes qui s’y posent suivant les types de recherches. Il évoque les méthodes d’analyse fondées sur la sémiologie et sur les statistiques.

Par Guy BROUSSEAU (Professeur émérite, IUFM d’Aquitaine)

Commentaires:

Cet article ne fait pas encore la distinction entre situations mathématiques à usage didactique et situations didactiques. La didactique (comme pratique) est encore définie comme projet social de faire approprier à un sujet, un savoir constitué ou en voie de constitution. Cette définition évoluera pour considérer des sujets (une classe, une société) devant investir une culture, comme collection de savoirs, de connaissances et de pratiques.

Par contre il présente les bases du partage et de la répartition des responsabilités de l’enseignement et de la recherche dans tout dispositif d’observation respectueux des deux déontologies. Ces deux règles ne sont pas aussi facilement compatibles qu’il a été commode de le dire dans une époque foisonnante fortement critiquée par la suite.

Mots clés : Didactique des mathématiques, observation, activités didactiques,

Langue du texte :Français
Nombre de pages : 9
Nature du texte Article de Synthèse
Diffusion : Revue à comité de lecture
Publication : Revue Française de Pédagogie, n° 45, p. 130-140
Date de publication : 1978

Lire l’article L’observation des activités didactiques

Brousseau; L’émergence d’une Science de la Didactique

L’émergence d’une Science de la Didactique des Mathématiques : motifs et enjeux

Cet article présente de façon succincte les souvenirs de son auteur sur les circonstances et sur les évènements qui ont présidé à l’émergence de la didactique comme « science ». Il résume sa vision des événements qui se sont déroulés à partir de 1960 et auxquels il a activement participé. Il rappelle les questions posées et les défis de l’entreprise conjuguée des mathématiciens et des professeurs dans les réformes de l’époque. Il rappelle le rôle initial des IREM, puis les difficultés et les enjeux de l’exaltante apparition de la didactique comme « Science des conditions de la diffusion des connaissances mathématiques utiles aux hommes et à leurs institutions ». Cette science, qui s’oppose à la didactique classique qui suppose l’indépendance des méthodes d’enseignement et des contenus, a pris principalement en charge jusqu’à ce jour l’étude « du projet social de faire approprier par des « élèves », un savoir constitué ou en voie de constitution ». Les méthodes sont nombreuse et vont de l’observation, clinique ou stochastique, à l’ingénierie didactique.

Auteur Guy Brousseau
Laboratoires DAEST, Université ‘Victor Segalen’ Bordeaux 2; Jeudi 26 août 2010

Mots clés:
Didactique des mathématiques, épistémologie, histoire de l’enseignement des mathématiques, IREM, APMEP, théories de la didactique des Mathématiques, réforme des mathématiques modernes.

Langue du texte Français
Nombre de pages 13 pages
Nature du texte Synthèse, historique
Diffusion Revue des IREM
publication Repères n° 55, 19-34
Editeur, Topiques Editions 3 Place Jeanne d’Arc, 57000 Metz
Date de publication Avril 2004

Lire l’article L’émergence d’une science de la didactique

Une équation pas méchante avec des radicaux!

Résoudre dans l'ensemble des couples des réels positifs, l'équation paramétrée par a et b, deux réels strictement positifs:
Conseil: Ne pas vous aventurer en élévant au carré! Tout le matériel didactique est nécessaire...


Eléments de réponse, en tenant compte du commentaire de Mr Abdelkaber.

Identités remarquables de degré 3

Une illustration géométrique de l'idendité (a+b)^3 à découvrir sur le site Homeomath qui, pour l'occasion, est une mine riche en ressources numériques permettant de mener des activités mathématiques, au niveau du lycée, dont:
Utilisation de la calculatrice des polynômes pour vérifier vos calculs
Factorisation d'un polynôme avec une identité remarquable